Ein allgemeines spektrales Konzept zur qualitativen und quantitativen Analyse der Verzerrung im 1. und 2. Moment von Parameterschätzungen infolge unterschiedlicher Fehler sowie Nichtlinearität im Beobachtungsmodell und Anwendung auf geodätische Netze

Abstract

In geodätischen Ortungsaufgaben und Netzlösungen erfolgt die Bestimmung der gesuchten Parameter – wie der besonders interessierenden Netzkoordinaten – erwartungstreu, falls ausschließlich zufällige beobachtungsbezogene Varianzanteile und ein fehlerfreies Modell zur Abbildung der Beobachtungen auf diese Parameter vorliegen. Das Auftreten nicht-zufälliger Fehleranteile in den Netzbeobachtungen oder den festen Anschlusskoordinaten führt ebenso wie ein nicht fehlerfreies Abbildungsmodell zu einer nicht mehr erwartungstreuen Schätzung mit geometrischen und stochastischen Netzverzerrungen wie einer gegenüber dem unverzerrten Fall ungünstigeren Parameterstochastik. Als Ursache jener Verzerrungseffekte kommen neben deterministisch-systematischen Fehlern der verwendeten Anschlusspunkte sowie möglichen Vernachlässigungen in deren stochastischen Modell noch die beobachtungsbezogenen deterministisch- und stochastisch-systematischen Fehleranteile in Betracht, durch die darüber hinaus auch Korrelationen zwischen den Netzbeobachtungen und somit Kovarianzanteile verursacht werden. In geodätischen Lagenetzen wirken darüber hinaus Fehler im Abbildungsmodell der Beobachtungen quasi-systematisch auf die Parameter aufgrund der Nicht-linearität des Modells und der so erforderlichen Linearisierung (Nichtlinearitätsverzerrungen ab der 2. Ordnung). Alle jene systematischen Fehleranteile führen auf eine geometrische (Parameterbias) und eine stochastische (Kovarianzmatrixzuschlag) Netzverzerrungskomponente. Die Anwendung des allgemeinen Eigenwertproblems (AEWP) auf jene parameterbezogene Zuschlags-matrix als Vergleichskovarianzmatrix und mit der konventionellen Kovarianzmatrix der Parameter als Referenzkovarianzmatrix im Rahmen des spektralen Analysekonzepts erlaubt die spektrale Zerlegung der Zuschlagsmatrix unter Bezugnahme auf die Referenzkovarianzmatrix und liefert über die AEWP- Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren die latenten Schwachformen des untersuchten Netzes als Trägerfunktionen der Verzerrung dessen Geometrie sowie die stochastische quadratische Netzverzerrung als quantitative Testgröße des Verzerrungseffekts. Zur qualitativen und quantitativen Analyse der geometrischen und stochastischen Verzerrungswirkung nicht-zufälliger Fehleranteile in Nivellement- und Lagenetzen ließ sich mit Anwendung der spektralen Zerlegung einer Vergleichs- in Bezug auf eine Referenzkovarianzmatrix ein allgemeines einheitliches Konzept einschließlich Vergleichsaussagen zu unterschiedlichen Parameterstochastiken finden. Eine konzeptionelle qualitative und quantitative Analyse von Verzerrungseffekten aufgrund von teil-weise erstmalig modellierten unterschiedlichen systematischen und stochastischen Modellfehlern in Nivellement- und Lagenetzen jeweils unterschiedlichen Designs führt über die daraus gewonnenen Erkenntnisse bezüglich der Wirkung nicht-zufälliger Fehleranteile auf Optimierungskriterien für deren Herabsetzung im Sinne einer spektralen Netzoptimierung.

In geodetic positioning tasks and network solutions, we determine parameters – particularly the most interesting network coordinates. This is carried out in an unbiased fashion if only random observation- related variance components and an error-free model for mapping the observations onto these para- meters are available. The appearance of non-random error components in the network observations or in the fixed coordinates and a not error free mapping model cause an estimation that is no longer unbiased and includes geometric and stochastic distortions of the network, and also causes less favourable stochastics of the parameters as compared to the unbiased case. Possible reasons for those distortion effects are to be considered, being deterministic-systematic errors within the fixed coordinates and a possible neglect in their stochastic model as well as observation related deterministic- and stochastic-systematic error contributions. These also cause correlations between network observations and hence create covariance components. Above this, in horizontal geodetic networks, errors in the mapping model for the observations affect the parameters in a quasi-systematic way due to the non-linearity of the model and to the linearisation (non-linearity distortions starting at the second order). All these systematic error contributions lead to a geometrical (parameter bias) as well as a stochastic (covariance matrix) network distortion component. The application of the general eigenvalue problem on this additive covariance matrix as a comparison matrix, and with the conventional covariance matrix of the parameters as reference covariance matrix, in the context of the spectral analysis concept, permits the spectral decomposition of the additive matrix with respect to the reference covariance matrix, and delivers, together with the eigenvalues and their related eigenvectors, the latent weak-forms of the examined geodetic network as supporter functions of the geometry-related network distortion together with the stochastic squared network distortion as a quantitative test statistic of the distortion effect. For the qualitative and quantitative analysis of the geometric and stochastic distortion (skewing) effects of non-random error parts in levelling and horizontal networks, a general and unique concept could be found by application of the spectral decomposition of a comparative matrix relative to the reference covariance matrix including comparative statements about different parameter stochastics. A conceptual qualitative and quantitative analysis of distortion effects (skewing) has been carried out that models – in parts for the first time – different systematic and stochastic model errors in levelling and horizontal networks of different designs. Due to the findings obtained therefrom, concerning the effect of non-random error components, this leads to optimisation criteria for their decrease in the sense of a spectral network optimisation.