Adaptive goal-oriented error control for stabilized approximations of convection-dominated problems

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Adaptive zielorientierte Fehlerkontrolle für stabilisierte Approximationen von konvektionsdominanten Problemen

URN urn:nbn:de:gbv:705-opus-30861
URL
Dokumentart: Dissertation
Institut: Fakultät Maschinenbau/Allgemein
Fakultät: Fakultät Maschinenbau
Hauptberichter: Prof. Markus Bause
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 09.09.2014
Erstellungsjahr: 2014
Publikationsdatum:
SWD-Schlagwörter: Finite-Elemente-Methode , Stabilisierung
Freie Schlagwörter (Deutsch): Konvektionsdominanz, DWR-Methode, zielorientiert, adaptiv
Freie Schlagwörter (Englisch): convection-dominatend, dwr method, goal-oriented, adaptive
DDC-Sachgruppe: Mathematik

Kurzfassung auf Deutsch:

Bei der näherungsweisen Berechnung von Lösungen von konvektionsdominanten Transportproblemen entstehen üblicherweise unphysikalische Oszillationen in der Lösung, wenn man diese mit dem Standardwerkzeug der Finite-Elemente-Methode behandelt. Im Allgemeinen gibt es zwei Herangehensweisen, um der unerwünschten Abweichung der numerischen Lösung von der exakten Lösung entgegen zu wirken. Zum einen können feine Netzschrittweiten Abhilfe schaffen, zum anderen werden Stabilisierungsverfahren eingesetzt. Ein globales Verfeinern der Auflösung des Rechengitters führt allerdings zu einer wachsenden Anzahl von Freiheitsgraden im zu lösenden System. Deswegen verwendet man gewöhnlich adaptive Verfeinerungsstrategien auf der Grundlage von a-posteriori Fehlerschätzern. Üblicherweise hängen Fehlerschätzer für Konvektions-Diffusion-Reaktionsgleichungen von unbestimmten Konstanten oder sogar vom Kehrwert des sehr kleinen Diffusionskoeffizienten ab, was zu absoluter Unbrauchbarkeit der Fehlerschranken führt. Allerdings lösen auch Stabilisierungstechniken das Problem der Oszillationen nicht alleine. Darin liegt der Grund für unser Vorgehen, Stabilisierung vom Typ streamline upwind (SUPG) und shock-capturing mit Adaptivität basierend auf einer zielorientierten Fehlerdarstellung zu verbinden. Dazu leiten wir mit Hilfe der dual-gewichteten Residuen-Methode (dual weighted residual method) eine Fehlerdarstellung her, die unter Berücksichtigung der Lösung eines ebenfalls konvektionsdominanten linearen dualen Problems die residualen Terme quantitativ gewichtet. Der Fehler wird hierbei bezüglich einer Messgröße dargestellt, die der Anwender nahezu beliebig wählen kann. Darunter kann man sich Punktgrößen, aber auch jedes andere Funktional, das für die Aufgabenstellung interessant ist, vorstellen. An verschiedenen Testbeispielen für stationäre nichtlineare Transportprobleme und einer Reihe von Zielgrößen zeigen wir den Nutzen, den die bis auf vernachlässigbare Restglieder exakte Fehlerdarstellung bringt, auf. Insofern wir für instationäre Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichungen eine variationelle Formulierung im Raum und auch in der Zeit vorliegen haben, kann die vorgestellte Methode auf instationäre Problemstellungen erweitert werden. An den numerischen Ergebnissen für den stationären wie für den instationären Fall veranschaulichen wir, dass die zielorientierte Fehlerdarstellung die adaptive Verfeinerungsstrategie so steuern kann, dass unphysikalische Effekte vermieden oder zumindest deutlich reduziert werden im Vergleich zu Standard-Verfahren. Der Effektivitätsindex stellt ein Maß für die Qualität eines Fehlerschätzers dar. In unseren Simulationen können wir feststellen, dass der Effektivitätsindex gegen einen optimalen Wert hinsichtlich Zuverlässigkeit und Exaktheit konvergiert. Darauf begründet ist die Fehlerdarstellung in der Lage, die Gitteradaptivität so zu steuern, dass Grenzschichten aufgespürt werden und der Fehler bezüglich des Zielfunktionals abnimmt.

Kurzfassung auf Englisch:

The approximate solution of convection-dominated transport problems obtained by standard finite element methods is characterized by unphysical oscillations. In general, there are two strategies in order to reduce this undesirable deviation from the exact solution. The first one is the calculation of the numerical solution on a highly refined grid, the second one is the use of stabilization techniques. The drawback of a global refinement strategy is given by the increasing number of degrees of freedom. For that reason, it is common to use adaptive refinement strategies based on a-posteriori error estimates. The conventional error estimates for convection-diffusion-reaction equations often depend on undetermined constants or even the reciprocal of the small diffusion coefficient which leads to tremendous impracticality of these error bounds. However, stabilization techniques on their own are also not sufficient to completely reduce the oscillations. For that reason, we take advantage of the concept of adaptivity and of stabilization by combining a goal--oriented error representation with stabilization techniques of streamline upwind type (SUPG) and shock-capturing. We present an error representation that is based on the dual weighted residual method that transfers information how to weight the residual terms with the solution of an associated adjoint linear problem which is convection-dominated as well. The error is given in terms of a user chosen quantity of interest such that point values or other application-related target quantities. The performance of the error representation which is exact except for negligible remainder terms and the corresponding adaptive strategy is presented for stationary nonlinear transport problems and different quantities of interest. The introduced method can be extended to transient convection-diffusion-reaction problems provided that a variational formulation in space as well as in time is available. The numerical results for stationary and nonstationary test cases illustrate that the presented goal-oriented error representation is capable to control the adaptive refinement process in such a manner that unphysical effects are avoided or, at least, clearly reduced in comparison to standard methods. The effectivity index, a measure for the quality of error estimates, tends to an optimal value with regard to reliability and precision. For that reason, the mesh adaption is carried out in an excellent way such that boundary layers, interior layers or sharp moving fronts are detected and the quantitative error in terms of the target functional decreases.

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