Anfangswerte für einen späteren Schwarzes-Loch-Kollaps von kugelsymmetrischen relativistischen Flüssigkeiten - Existenzsätze und Numerik

Initial values for a later black hole collaps of spherically relativistic fluids - existence theorems and numeric

URN urn:nbn:de:gbv:705-opus-949
URL
Dokumentart: Dissertation
Institut: Institut für Werkstoffkunde
Fakultät: Fakultät Maschinenbau
Hauptberichter: Seifert, Hans-Jürgen, Univ.-Prof. Dr. rer. nat.
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 03.06.2002
Erstellungsjahr: 2002
Publikationsdatum:
SWD-Schlagwörter: Quasilineares hyperbolisches System, Diagonalisierung, Existenzsatz
Freie Schlagwörter (Deutsch): hyperbolisch, Diagonalisierungsverfahren, quasilinear, Existenzbeweis
Freie Schlagwörter (Englisch): hyperbolic, method of diagonalization, quasilinear, proof of existence
DDC-Sachgruppe: Mathematik

Kurzfassung auf Deutsch:

Anfangsrandwertaufgaben für quasilineare, partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung $\partial_t u+{\bf A}(u)\cdot \partial_x u={\bf b}(u)$ in zwei Unbekannten vom hyperbolischen Typ werden betrachtet. Ein in astrophysikalischer Hinsicht interessantes und zugleich herausforderndes (1) Beispiel dafür ist eine kugelsymmetrische Raumzeit aus idealer Flüssigkeit, deren späteres Kollabieren durch geeignete Vorgabe von Anfangswerten erreicht werden kann. Dabei wird aus einem zeitlich lokalen Existenzsatz die zeitlich globale Aussage "Entstehen eines Ereignis-horizontes aus harmlosen Anfangsdaten" gewonnen. Die dazu von den Anfangswerten zu verlangenden physikalischen Bedingungen verhindern das Sicherstellen einer glatten Lösung am Sternrand (2). Die Beweise werden dennoch übersichtlich, weil das System auf diagonale Gestalt gebracht wird. Das Diagonalisierungsverfahren (3) wird einerseits auf die o.g. Einstein-Gleichungen angewandt und andererseits auf die Gleichungen der eindimensionalen Gasdynamik (in Lagrangeschen und nach Transformation auch in Eulerschen Koordinaten). Numerisch wird ein neues Hybrid-Verfahren getestet an einer einzelnen Gleichung mit knickenden Anfangsdaten. Fußnoten (1) Neben der Nichtlinearität des nicht in Divergenz-Form vorliegenden Gleichungssystems sind die Koordinaten mit der zugrunde liegenden Geometrie verkoppelt, wobei die Komponenten der Metrik zu den Unbekannten des partiellen Differentialgleichungssystems gehören (2) wo bei positiver Massenenergiedichte ein Vakuum angeschlossen wird (Flüssigkeitsoberfläche) (3) An dem Verfahren ist neu, daß es auch dann funktioniert, wenn die Matrix ${\bf A}$ nicht invertierbar ist, weil einige Eigenwerte identisch verschwinden, sofern das System so geschrieben ist, daß zu den trivial propagierten abhängigen Unbekannten sogenannte Zwangsbedingungen existieren

Kurzfassung auf Englisch:

Initial boundary value problems for quasilinear, partial differential equations of first order $\partial_t u+{\bf A}(u)\cdot \partial_x u={\bf b}(u)$ in two unknowns of hyperbolic type are considered. An astrophysically interesting and challenging (1) example hereof is a spherically symmetric perfect fluid space time, whose later collapse can be achieved by suitable choice of inital values. By that a timely global statement 'occurence of an event horizon from innocuous initial data' is won from a timely local existence theorem. The initial data must hold physical conditions which prevent a smooth solution in the star boundary (2). The proof stays clearly arranged since the system is brought into diagonal form. The diagonalisation method is used on the one hand, on the above mentioned Einstein equations and on the other hand, on the equations of one-dimensional gas dynamics (written in comoving and after transformation also in Eulerian coordinates) A new hybride algorithm is numerically testet for a single equation with creasing inital data. footnotes (1) Apart from the non-linearity of the equations system, which is not given in divergent form, the coordinates are concatenated with the underlying geometry, where the components of the metric are unknowns of the partial differential system. (2) where a vacuum space time is connected and the mass energy is positive (surface of a fluid) (3) new in that method is that it works also if the matrix ${\bf A$ is not invertible, because some eigenvalues disappear identically, provided that the system is written in such a way that one found so called constraints for all trivially propagated unknowns

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