Variational Space-Time Methods for the Elastic Wave Equation and the Diffusion Equation

URN urn:nbn:de:gbv:705-opus-31129
URL
Dokumentart: Dissertation
Institut: Institut für Werkstoffkunde
Fakultät: Fakultät Maschinenbau
Hauptberichter: Prof. Dr. M. Bause
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 12.06.2015
Erstellungsjahr: 2015
Publikationsdatum:
SWD-Schlagwörter: Wissenschaftliches Rechnen , Numerische Mathematik , Hochleistungsrechnen , Informatik
Freie Schlagwörter (Deutsch): Finite Elemente Methode, Variationelle Zeitdiskretisierung, Iterative Lineare Lösertechnologie, Elastische Wellengleichung, Diffusionsgleichung
Freie Schlagwörter (Englisch): Finite Element Method, Variational Time Discretisation, Iterative Linear Solver Technology, Elastic Wave Equation, Diffusion Equation
DDC-Sachgruppe: Mathematik

Kurzfassung auf Englisch:

In this work we analyse variational space-time discretisation methods for an accurate and reliable numerical approximation of three-dimensional elastic ultrasonic waves in solids. This problem appears for instance in the field of the numerical simulation of structural health monitoring systems for modern fibre reinforced composites. For the discretisation in space, a discontinuous Galerkin method in the sense of a discontinuous Finite Element Method with arbitrary polynomial degree is presented. For the discretisation in time, various families of discontinuous, continuous and continuous differentiable Galerkin methods in the sense of time-marching schemes are presented. Special emphasis will be taken on the methods with higher-order polynomial approximation in the time domain. Moreover, we analyse variational space-time discretisation methods for a non-stationary diffusion equation. The diffusion equation appears here as simplified prototype for a general transport equation with diffusion processes, convection processes and chemical reactions. The diffusion equation is a non-stationary parabolic partial differential equation, with that a diffusive transport with a corresponding flux can be approximated. For the discretisation in space, a mixed Finite Element Method is presented. The applied mixed Finite Element Method simultaneously approximates here a scalar-valued primal variable and the corresponding vector-valued flux variable. This approach ensures a locally mass-conservative numerical approximation, which can not be done with the standard conforming Finite Element Method. Further, we analyse carefully the corresponding linear systems of the presented numerical schemes and study their numerical properties. The ill-conditioned linear systems, which appear especially for the higher-order in time approximations, can not be solved with standard numerical solvers. We present sophisticated iterative numerical solvers and derive efficient corresponding preconditioners for the efficient and reliable numerical solution of the ill-conditioned linear systems. The corresponding software is designed for high-performance parallel numerical simulations. We express the applied modern software-engineering aspects and the used parallel programming models as well as the used software libraries. The practical relevance of the presented variational space-time methods, the efficiency of the developed iterative solvers and the capabilities of the implemented software are exemplarily shown by various numerical experiments on high-performance workstations and a high-performance cluster system.

Kurzfassung auf Deutsch:

In dieser Arbeit werden variationelle Raum-Zeit Diskretisierungen für eine präzise und zuverlässige numerische Approximation von drei-dimensionalen elastischen Ultraschallwellen in Festkörperstrukturen analysiert. Eine mögliche Anwendung ist die numerische Simulation von Strukturüberwachungssystemen für moderne Faserverbund-Werkstoffe. Für die räumliche Diskretisierung wird eine unstetige (discontinuous) Galerkin Methode im Sinne einer unstetigen Finite Elemente Methode mit beliebigen Polynomgrad angewandt. Für die zeitliche Diskretisierung werden unstetige, stetige sowie stetig differenzierbare Galerkin Methoden im Sinne von Zeitschrittverfahren angewandt und diskutiert. Analysiert werden insbesondere Verfahren mit höherer polynomialer Approximationsgüte in der Zeit. Weiterhin befassen wir uns mit der Diskretisierung einer nicht-stationären Diffusionsgleichung mit variationellen Methoden. Das Modell der Diffusionsgleichung stellt ein vereinfachtes Prototyp-Modell für einen Stofftransport in einem porösen Medium mit Diffusionsprozessen, mit Konvektionsprozessen sowie mit auftretenden chemischen Reaktionen dar. Bei der Diffusionsgleichung handelt es sich um eine nicht-stationäre parabolische partielle Differentialgleichung, mit welcher ein diffusiver Stofftransport mit korrespondierender Flussapproximation beschrieben wird. Für die räumliche Diskretisierung wird eine gemischte (mixed) Finite Elemente Methode angewandt. Die gemischte Finite Elemente Methode approximiert hier eine skalarwertige Primärvariable und die zugehörige vektorwertige Flussvariable gleichzeitig. Somit wird eine massenerhaltende numerische Approximation sichergestellt, welche mit der gewöhnlichen Finite Elemente Methode nicht möglich ist. Für die zeitliche Diskretisierung werden ähnliche variationelle Methoden wie für die elastische Wellengleichung angewandt. Insbesondere analysieren wir die resultierenden linearen Gleichungssysteme und untersuchen deren numerische Eigenschaften. Die schlecht-konditionierten Gleichungssysteme, welche vor allem bei den Verfahren höherer Ordnung in der Zeit auftreten, können nicht mit Standardverfahren gelöst werden. Für eine effiziente und zuverlässige numerische Lösung der auftretenden schlecht-konditionierten Gleichungssysteme werden fortschrittliche iterative Lösertechnologien angewandt und zugehörige effiziente Vorkonditionierer entwickelt. Die zugehörige Software ist für hoch-performante parallele numerische Simulationen ausgelegt. Die hierfür angewandten modernen Software-Engineering Konzepte und parallelen Programmiermodelle sowie die verwendeten Softwarebibliotheken werden erläutert. Die praktische Relevanz der präsentierten variationellen Raum-Zeit Methoden, die Effizienz der entwickelten iterativen Löser und das Leistungsvermögen der implementierten Software werden mittels verschiedener numerischer Simulationen auf Hochleistungs-Workstations und auf einem Hochleistungs-Cluster System dargestellt.

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